9年級數學模擬考分數標準差計算

2026-03-30hobewho0 Comments

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步驟一：準備資料（複製貼上）

請將下面這張某班 12 位同學的「數學模擬考分數」表格，選取並複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格：

學號姓名數學分數統計項目數值
1王一88前標 (Q3)
2李二45均標 (Q2)
3張三92後標 (Q1)
4林四76
5陳五65達前標人數
6趙六80不及格人數
7孫七55
8周八95
9吳九72
10鄭十85
11黃十一60
12蔡十二82

步驟二：計算五標（四分位數與中位數）

在國中數學我們學過，要把資料由小排到大才能找四分位數，但 Excel 有內建函數，不需要手動排序就能直接算出來！

  1. 計算「前標 (Q3 / 第 3 四分位數)」：
    • 點選 F2 儲存格（前標旁邊的空格）。
    • 輸入公式：=QUARTILE.INC(C2:C13, 3)
    • 按下 Enter。這個公式的意思是：在 C2 到 C13 的分數範圍中，找出第 3 個四分位數。你會得到 85.75 分。
    • (也就是說，班上大約有四分之一的人分數高於 85.75 分)
  2. 計算「均標 (Q2 / 中位數)」：
    • 點選 F3 儲存格。
    • 輸入公式：=MEDIAN(C2:C13)
    • 按下 Enter。MEDIAN 就是專門算中位數的函數！你會得到 78 分。 (註：這裡也可以用 =QUARTILE.INC(C2:C13, 2)，算出來的結果會一模一樣喔！)
  3. 計算「後標 (Q1 / 第 1 四分位數)」：
    • 點選 F4 儲存格。
    • 輸入公式：=QUARTILE.INC(C2:C13, 1)
    • 按下 Enter。找出第 1 個四分位數，結果會是 63.75 分。

步驟三：進階魔法—條件統計 (COUNTIF)

算出了標竿之後，老師通常會想知道：「班上有多少人達到前標？」或是「有多少人需要補救教學（不及格）？」這時候就要用到超強的條件計數函數：COUNTIF。

  1. 計算「達前標（>= 85.75分）人數」：
    • 點選 F6 儲存格。
    • 輸入公式：=COUNTIF(C2:C13, ">=85.75")
    • 按下 Enter。這個公式會幫你找出 C2 到 C13 中，數值「大於或等於 85.75」的有幾個。結果會顯示 4（代表有 4 個人達到前標）。
  2. 計算「不及格（< 60分）人數」：
    • 點選 F7 儲存格。
    • 輸入公式：=COUNTIF(C2:C13, "<60")
    • 按下 Enter。結果會顯示 2（代表有 2 個人不到 60 分）。

以下說明:

這組資料共有 $n = 12$ 個數值：

45, 55, 60, 65, 72, 76, 80, 82, 85, 88, 92, 95

在台灣的基礎統計學（如高中數學課綱）中，我們通常使用「位置索引法」來尋找四分位數。規則如下：

將資料總數 $n$ 乘上對應的比例。

  • 如果結果是整數：取該位置與下一個位置的數值，兩者相加除以 2（求平均）。
  • 如果結果帶有小數：無條件進位到下一個整數位置，取該位置的數值。

以下是逐步計算的示範：

1. 第一四分位數 ($Q_1$)

$Q_1$ 代表排在第 25% 位置的數值。

  • 計算位置：$12 \times \frac{1}{4} = 3$
  • 因為 3 是整數，所以我們取第 3 個和第 4 個數值的平均。
  • 第 3 個數是 60，第 4 個數是 65。
  • 計算：$Q_1 = \frac{60 + 65}{2} = 62.5$

2. 第二四分位數 ($Q_2$ / 中位數)

$Q_2$ 代表排在第 50% 位置的數值，也就是整組資料的中位數。

  • 計算位置：$12 \times \frac{2}{4} = 6$
  • 因為 6 是整數，所以我們取第 6 個和第 7 個數值的平均。
  • 第 6 個數是 76，第 7 個數是 80。
  • 計算：$Q_2 = \frac{76 + 80}{2} = 78$

3. 第三四分位數 ($Q_3$)

$Q_3$ 代表排在第 75% 位置的數值。

  • 計算位置：$12 \times \frac{3}{4} = 9$
  • 因為 9 是整數，所以我們取第 9 個和第 10 個數值的平均。
  • 第 9 個數是 85，第 10 個數是 88。
  • 計算：$Q_3 = \frac{85 + 88}{2} = 86.5$

總結您的四分位數結果：

  • $Q_1$ (第一四分位數)：62.5
  • $Q_2$ (中位數)：78
  • $Q_3$ (第三四分位數)：86.5

(註：統計學上有幾種不同計算四分位數的微調公式，例如 Excel 的 QUARTILE.INC 或 QUARTILE.EXC 算出來的結果可能會有些微小數點差異，但上述演算法是教科書中最標準且通用的手工計算法。)

在 Excel 中計算四分位數時，它並不是單純使用我們剛剛示範的「位置索引法」，而是採用了線性插值法 (Linear Interpolation)。這代表如果計算出來的位置帶有小數，Excel 會根據小數點的比例，計算相鄰兩個數值之間的精確對應值。

在較新的 Excel 版本中，有兩種計算四分位數的函數：QUARTILE.INC（包含）與 QUARTILE.EXC（排除）。這兩者的算法略有不同，以下為您詳細拆解它們的計算方式與結果：

1. QUARTILE.INC (包含 / 舊版 QUARTILE 函數)

這個算法的邏輯是將資料範圍的百分比視為從 0 到 1 之間（包含最小值與最大值）。

  • 位置公式：$Pos = 1 + p \times (n – 1)$
    • $p$ 為百分比 ($Q_1$ 為 $0.25$, $Q_2$ 為 $0.5$, $Q_3$ 為 $0.75$)
    • $n$ 為資料總數（本題 $n=12$）

套用您的資料計算：

  • $Q_1$ (第 25%)：
    • 位置 = $1 + 0.25 \times (12 – 1) = 1 + 2.75 = 3.75$
    • 這代表 $Q_1$ 落在第 3 個數 (60) 與第 4 個數 (65) 之間，偏向第 4 個數 75%。
    • 數值 = $60 + 0.75 \times (65 – 60) = 60 + 3.75 = \mathbf{63.75}$
  • $Q_2$ (第 50%)：
    • 位置 = $1 + 0.5 \times (12 – 1) = 6.5$
    • 這與我們手工算的完全一樣，取第 6 個與第 7 個的中間值。
    • 數值 = $\frac{76 + 80}{2} = \mathbf{78}$
  • $Q_3$ (第 75%)：
    • 位置 = $1 + 0.75 \times (12 – 1) = 1 + 8.25 = 9.25$
    • 落在第 9 個數 (85) 與第 10 個數 (88) 之間，偏向第 10 個數 25%。
    • 數值 = $85 + 0.25 \times (88 – 85) = 85 + 0.75 = \mathbf{85.75}$

2. QUARTILE.EXC (排除)

這個算法將資料分割為 $n+1$ 等分，它排除了第 0%（最小值）和第 100%（最大值）可以作為四分位數的可能性，這在處理大樣本或常態分佈資料時較常被統計學家使用。

  • 位置公式：$Pos = p \times (n + 1)$

套用您的資料計算：

  • $Q_1$ (第 25%)：
    • 位置 = $0.25 \times (12 + 1) = 3.25$
    • 落在第 3 個數 (60) 與第 4 個數 (65) 之間，偏向第 4 個數 25%。
    • 數值 = $60 + 0.25 \times (65 – 60) = 60 + 1.25 = \mathbf{61.25}$
  • $Q_2$ (第 50%)：
    • 位置 = $0.5 \times (12 + 1) = 6.5$
    • 數值依然是 $\mathbf{78}$（無論哪種算法，中位數的結果通常一致）。
  • $Q_3$ (第 75%)：
    • 位置 = $0.75 \times (12 + 1) = 9.75$
    • 落在第 9 個數 (85) 與第 10 個數 (88) 之間，偏向第 10 個數 75%。
    • 數值 = $85 + 0.75 \times (88 – 85) = 85 + 2.25 = \mathbf{87.25}$

結果比較總表

您可以看出，因為算法「如何處理小數點位置」的邏輯不同，導致算出來的 $Q_1$ 和 $Q_3$ 會有細微的差異：

項目傳統手工法 (課本標準)Excel: QUARTILE.INCExcel: QUARTILE.EXC
$Q_1$62.563.7561.25
$Q_2$787878
$Q_3$86.585.7587.25

在 Excel 實作：

如果您把資料放在 A1 到 A12 儲存格中，您可以使用公式 =QUARTILE.INC(A1:A12, 1) 來求第一四分位數（最後面的 1 改成 2 就是中位數，改成 3 就是第三四分位數）。

這三種結果都沒有絕對的「對與錯」，只是取決於您是在應付學校考試（用傳統手工法），還是在處理商業與研究數據（通常直接用 Excel 函數）。